S vedskom matematikom imao sam prvi, zapanjujući susret prije tri godine u Amsterdamu, na konferenciji Nexus, kada je Australac imenom Jain pred mojim očima iz glave vadio treći korijen iz šesteroznamenkastih brojeva. To doista nalikuje čaroliji, ali prava čarolija krije se i u tome što tu vještinu svatko može naučiti za samo nekoliko minuta. Riječ je drevnom indijskom jednorednom matematičkom sustavu. Vedska matematika je ime dano drevnom sustavu matematike koji je između 1911. i 1918. Sri Bharati Krsna Tirthaji (1884–1960) ponovno otkrio u Vedama. Prema njegovu istraživanju, sva matematika temelji se na 16 sutri ili formula izraženih riječima. Jednostavnost vedske matematike znači da se računanja mogu obavljati mentalno, što stvara kreativnije, zainteresirane i inteligentne učenike. Početkom 20. stoljeća, dok je u Europi vladalo veliko zanimanje za sanskrtske tekstove, neki znanstvenici odbacili su određene tekstove pod nazivom Ganita sutre – što znači “matematika” – jer u prijevodu nisu mogli pronaći nikakvu matematiku. Međutim, Bharati Krsna, koji se bavio sanskrtom, matematikom, poviješću i filozofijom, proučio je ove tekstove i nakon dugog i pažljivog istraživanja uspio rekonstruirati matematiku Veda. Prema njegovu istraživanju, sva matematika temelji se na 16 sutri ili formula izraženih riječima. Svoja istraživanja objavio je u knjizi “Vedic Mathematics” objavljenoj 1965., pet godina nakon njegove smrti. Tih 16 sutri, ili jednostavnih sanskrtskih formula izraženih riječima, rješavaju sve poznate matematičke probleme u granama aritmetike, algebre, geometrije i diferencijalnog računa. One su lako razumljive, lako primjenjive i lako pamtljive. Graditelj hrama nije imao olovku ni papir; jednostavno je računao u glavi. Dakle, nalazite se na terenu i trebati popločiti pod koji ima 98 jedinica na kvadrat. Kako ćete to izračunati s takvom mentalnom lakoćom? Evo nekih praktičnih primjera.

KVADRIRANJE BROJEVA KOJI SU BLIZU BAZE

Da bismo dobili kvadrat broja 98 (98 x 98, ili 982), moramo prvo utvrditi u kojoj smo bazi. Broj je blizu 100, pa kažemo da je baza 100. Sada moramo izabrati jednu od šesnaest glavnih sutri kako bismo riješili problem. Ona koju ovdje treba primijeniti zove se “Po nedostatku – koliki je nedostatak, umanji ga za još toliko i dopiši kvadrat od toga”. Zvuči kriptično i besmisleno, pa ipak brzo rješava problem.

Odgovor ćemo dobiti jednostavno utvrdivši koliko je 100 minus 98.

Znajući da je nedostatak 2, samo umanjimo 98 za 2 i dopišemo kvadriranje te dvojke.

Kao jednoredan odgovor, to bi izgledalo ovako: 98 na kvadrat = 98 – 2 / 2 x 2 Ili pojednostavnjeno: = 96 / _4

Skoro imamo naš odgovor.

Moramo znati da, budući da je naša baza 100, ona ima dvije nule.

Stoga: 98 na kvadrat = 96 / 04 = 9604

Pogledajmo slične primjere:

97 na kvadrat = 97 – 3 / 3 x 3 = 94 / 09 = 9409

96 na kvadrat = 96 – 4 / 4 x 4 = 92 / 16 = 9216

Kada je broj koji se kvadrira veći od baze – u ovom slučaju od 100 – dodajemo višak i kvadriramo višak:

104 x 104 = 104 + 4 / 4 x 4 = 108 / 16 = 10816

104 x 105 = 104 + 5 / 4 x 5 = 109 / 20 = 10920

Što ako povećamo naše brojeve do 998 na kvadrat? To je blizu 1000, pa kažemo da je baza 1000 i znamo da moramo imati tri mjesta (za nule ili znamenke) na desnoj strani od (/).

998 na kvadrat = 998 – 2 / 2 x 2 = 996 / _ _ 4 = 996 / 004 = 996.004

Shvativši to, možemo računati s milijunima:

9998 na kvadrat = 9998 – 2 / 2 x 2 = 9996 / _ _ _ 4

Dakle: 9996 / 0004 to jest 99,960.004.

KVADRIRANJE BROJEVA KOJI ZAVRŠAVAJU NA 5

Evo još jednog primjera koji ilustrira jednostavnost vedskog matematičkog sustava. Ako bismo htjeli kvadrirati broj 25, tj. pomnožiti 25 sa 25, konvencionalno bi nam trebala tri reda računanja. Vedskom matematikom, primjenom jedne od šesnaest sutri, rješava ga se mentalno u jednom redu. U ovom slučaju sutra koju treba upotrijebiti je “S jedan više od prethodnog”, tj. od prethodne znamenke. Primjećujemo da je 25 dvoznamenkasti broj i da je posljednja znamenka 5, ali najviše nas zanima “prethodna znamenka”, koja je 2. Mentalno kažemo, “Koliko je jedan više od dva? To je tri”. Riječ “s” u sutrama zapravo znači “pomnožiti”. Prva polovica odgovora na papiru izgleda ovako:

25 na kvadrat = 2 “sa” 3 / ... = 2 x 3 / ...

Tome dopišemo posljednju znamenku “5”, kvadriranu: = 2 x 3 / 5 x 5 = 6 / 25 = 625

Slično tome, kvadrat svih drugih brojeva koji završavaju na 5 može se izračunati trenutačno:

15 na kvadrat = 1 x 2 / 5 x 5 = 2 / 25 = 225

35 na kvadrat = 3 x 4 / 5 x 5 = 12 / 25 = 1225

45 na kvadrat = 4 x 5 / 5 x 5 = 20 / 25 = 2025

95 na kvadrat = 9 x 10 / 5 x 5 = 90 / 25 = 9025

Ako i ne namjeravate na terenu graditi hramove, ili pak imate sa sobom džepno računalo koja za vas rješava sve, postoje druge koristi od vedske matematike. Jain, koji me upoznao s njom, smatra da ona kod učenika (zbog toga što se izvodi mentalno) vježba vizualizaciju i “mišić” koji zovemo mozak, za razliku od elektroni čkih pomagala koja ga pasiviziraju.

www.vecernji.hr

 

O VEDSKOJ MATEMATICI

O vedama i vedskoj matematici
Vede ( na Sanskrtu znanje) su tekstovi koji potjeću iz razdoblja antičke Indije. Napisane na vedskom Sanskrtu tekstovi čine najstariji dio književnosti na Sanskrtu te su najstarije hinduističko sveto pismo. Vede su apauruSeya (neljudskog podrijetla), navodno da su se same otkrivale, pa ih stoga zovu sruti (ono što se čuje) razlikujući se tako od ostalih religijskih tekstova, zvanih smrti (ono što se pamti). Vedski tekstovi ili sruti organizirani su u četiri kanonske skupine metričkog materijala nazvanog Samhite, od kojih se prve tri odnose na izvedbu vajne (žrtve) u povijesnoj vedskoj religiji. Vede se dijele na četiri osnovna dijela: Rig-veda, Sama-veda, Yajur-veda i Atharva-veda koje zajedno nose ime Samhite (Vede). Prve tri, Rig-veda, Sama-veda i Yaur-veda su zapravo ritualni udžbenici koje su koristili svećenici u vedskom periodu ( 1500-500 godine prije Krista). Riječ veda ima dva osnovna značenja. Prvo, doslovan prijevod riječi sa Sanskrta je znanje. Drugo, i češće značenje riječi odnosi se na antičku hinduističku književnost. Vede kao zbir himni, poezije i hinduističkih ceremonijalnih formula (Veda) smatraju se jednim od najstarijih pisanih zapisa, te sežu čak 4000 godina u prošlost. Tradicionalno, prenošene su usmenim putem s generacije na generaciju, a govorili su ih sveti mudraci zvani rishi, prije nego što su stvarno i zapisane na vedskom jeziku, antičkom obliku Sanskrta. Vedska je matematika dio četvrte Vede, Atharva-vede, koja se od drugih veda razlikuje u nekoliko pogleda. Prvo, u sprotnosti s ostale tri Vede, Atharva-veda sadrži himne, čarolije i magične napjeve za osobnu i kućnu upotrebu. Atharva-veda, koja je napisana kasnije, nakon ostalih veda, nije uvijek bila smatrana autoritetom, već je to postala nakon što su ju prihvatili Brahmani, najviši red hinduističkog svećenstva. Objedinjene, vede sadrže informacije o različitim područjima uključujući religiju, medicinu, arhitekturu, astronomiju. Vedska matematika je matematički sistem koji se sastoji od 16 osnovnih sutra ili aforizama. Njih je prvi predstavio hinduistički učenjak i matematičar Bharati Krishna Tirthaji Maharaja, u prvoj polovici dvadesetog stoljeća. On je tvrdio da je do sutra došao nakon godina proučavanja Veda, skupine svetih antičkih hinduističkih tekstova. Ipak, Vede nigdje ne sadrže niti jednu sutru vedske matematike. Strategije izračuna koje nudi vedska matematika navodno su vrlo kreativne i korisne, te se mogu primijeniti na različite načine na metode izračunavanja kako u aritmetici tako i algebri, ponajviše kao sastavni dio obrazovnog sustava tj. u samom podučavanju matematike.

Podrijetlo sustava

Mnogo se prašine podiglo među indijskim znanstvenicima vezano uz Tirthajive tvrdnje da je matematika zapravo u suštini vedska te da ta vedska matematika obuhvaća baš sve aspekte matematike. Između ostalog, Tirthajiv opis matematike kao vedske je najčešće kritiziran zbog toga što, do sada, niti jedna sutra nije pronađena u bilo kojem dijelu vedske književnosti. Kritičari su upitnim držali da li ova tema uopće zaslužuje biti nazvana vedskom ili ipak matematičkom. Upućuju na nedostatak dokaza da su sutre iz bilo kojeg vedskog perioda stvarno u skladu s vedskim sustavom. Kao odgovor na te kritike da se sutre ne mogu pronaći unutar vedskih tekstova, nekoliko je stručnjaka objasnilo kako tekstualne reference ne bi smjele činiti osnovu za procjenu vedičnosti matematike. Neki čak napominju kako je vedska matematika drugačija od ostalih znanstvenih radova budući da nije razrađena na pragmatičan način, nego se temelji na direktnom razotkrivanju, odnosno intuističkoj vizualizaciji osnovnih matematičkih istina.

Sutre (formule ili aforizmi)

Vedska matematika bazira se na šesnaest sutri koje služe kao kriptirane instrukcije za rješavanje različitih matematičkih problema. Sutre su jednostavne formule opisane s nekoliko rijeci, lagane za razumjeti, primijeniti i zapamtiti. Shri Bharati kaze da ta pravila pokazuju put kojim se um prirodno kreće. Svoja istraživanja sačuvao je u knjizi Vedska Matematika ili šesnaest jednostavnih matematičkih formula iz Veda.

Glavne sutre su:

1. Sve od devetke, a zadnju od desetke

2. Sa jedan više od prethodnog

3. Okomito i dijagonalno

4. Premjesti i primijeni

5. Ako je Samuccaya jednaka, rezultat je nula

6. Ako je jedan u omjeru, drugi je nula

7. Sa zbrajanjem i oduzimanjem

8. Sa dopunom i bez dopune

9. Diferencijalni račun

10. Sa manjkom

11. Specifičan i općenit

12. Ostaci sa zadnjom znamenkom

13. Zadnji i dvostruki predzadnji

14. Sa jedan manje od prethodnog

15. Produkt sume

16. Svi množitelji

 

Pomoćne sutre

1. proporcionalno (Proportionately)

2. ostatak ostaje konstantan (The Remainder Remains Constant)

3. prvi sa prvim i zadnji sa zadnjim (The First by the First and the Last by the Last)

4. za 7 množenik je 143 (For 7 the plicand is 143)

5. pomoću doticanja u više točaka (By Osculation)

6. smanjivanje pomoću nedostatka (Lessen by the Deficiency)

7. kako god se nedostatak smanjuje tom veličinom i postavlja kvadrat nedostatka(Whatever the Deficiency lessen by that amount and set up the Square of the Deficiency)

8. posljednji sumira 10 (Last Totalling 10)

9. samo posljednji pojmovi (Only the Last Terms)

10. suma produkata (The Sum of the Products)

11. pomoću izmjene eliminacije i zadržavanja (By Alternative Elimination and Retention)

12. pomoću pukog promatranja (By Mere Observation)

13. produkt sume je suma produkata (The Product of the Sum is the Sum of the Products)

14. na zastavi (On the Flag)

Možda najfascinantnija činjenica vezana uz vedsku matematiku upravo je njezina usklađenost i suvislost. Umjesto mješavine nepovezanih tehnika, cijeli sustav je prekrasno povezan i ujedinjen. Osnovnu metodu množenja, na primjer, vrlo je lako okrenuti tako da omogućava jednostavna dijeljenja, dok metodu kvadriranja možemo okrenuti kako bi s njome mogli korijenovati. I sve je te metode vrlo jednostavno razumijeti. Sama ta povezanost čini matematiku jednostavnom i zabavnom te potiće razmišljanje i inovacije. U vedskom sistemu komplicirane probleme ili velike zbrojeve moguće je riješiti istog trena uz pomoć vedske metode. Te zapanjujuće i prekrasne metode samo su jedan dio cjelokupnog matematičkog sustava koji je mnogo sistematičniji od današnjeg, modernog sustava. Vedska matematika upućuje na povezanu i jedinstvenu strukturu same matematike te na činjenicu da se te metode međusobno nadopunjuju, da su direktne i vrlo jednostavne. Jednostavnost vedske matematike omogućava računanje mentalnim putem (iako je metode moguće i zapisati). Mnogo je prednosti u korištenju fleksibilnog, mentalnog sustava. Učenici na primjer mogu sami osmišljavati svoje metode, nisu ograničeni jednom ispravnom metodom. To dovodi do toga da su učenici mnogo kreativniji, zainteresiraniji te samim time pametniji. Zanimanje za vedski sistem u sustavu obrazovanja ubrzano raste, budući da profesori traže nešto bolje od postojećih metoda te rješenje pronalaze upravo u vedskoj matematici. Provode se različita istraživanja o utjecajima vedske matematike na učenje u djece, te se time razvijaju nove i jednostavne primjene vedskih sutri u geometriji, aritmetici. Upravo je ta jedinstvenost i usklađenost sustava nešto što nije moguće pronaći u konvencionalnoj matematici. Ona na vidjelo iznosi svu ljepotu brojeva i svijeta koji nas okružuje. Tehnike su toliko jednostavne da se upotreba konvencionalnih metoda može učiniti zamarajućom. Indija je kolijevka naše rase, a Sanskrt izvorište svih europskih jezka. Indija je majka naše filozofije, naše matematike, ideala utkanih u kršćanstvo...kolijevka samoupravljanja i demokracije. U mnogočemu, Indija je Majka svih nas. Will Durant, američki povjesničar (1885-1981)